ロバストライフ

毎年年末に５０万円ずつ積立てて、年利2％で複利運用すると、20年後には（元利合計は）いくらになっているだろうか・・・

今回は、この疑問をわかりやすくスッキリ解決していきます。

もしあなたがFP（ファイナンシャルプランナー）資格の勉強をしたことがあれば、“年金終価係数”の表を用いて、次のように計算できます。

冒頭の疑問の答えはこちらです。

年間の積立額　×　年金終価係数
＝５０万円　×　２４．２９７
＝約１，２１５万円

実際のFP試験では係数表が与えられているので、表から該当の係数を選んで掛ければ、点数はもらえます。

係数に関しては、他にもいくつかあります。

ただ、丸暗記でFP試験に合格したけど、実はこんな人も多そう・・・(^_^;)

・終価係数
・現価係数
・減債基金係数
・資本回収係数
・年金終価係数
・年金現価係数

なんだこの6つの係数…
どれをどの時に使うか全然覚えられないんやが(；・ω・)#FP2級

— わくちん@つみたて投資家 (@vaccine0711) 2019年5月6日

私は、この年金終価係数がどうやって導き出されるのか一度くらいは確認しておくことをおすすめします。

さもないと、係数自体がブラックボックスになってしまいますから。

ということで今回は、積立で複利運用する場合の計算方法をわかりやすく解説していきます。

※今回は「期末」に積立を行うケースで考えていますが、先日は「期首」に積立を行うケースでシミュレーションを行っています。

積立金を複利運用したら満期時はいくらになる？

【手順１】各年の満期時の元利合計額を求める

まずは各年の積立額が満期時にいくらになるのかを計算してみましょう。

１年目の積立金を複利運用する場合の満期時の元利金合計額

１年目の”年末”に５０万円積み立てるとします。

期間は２０年なので、残り１９年間、年利２％の複利で運用することになります。

満期時の元利合計は以下のように計算できます。

満期時の元利合計
＝５０万円×（１＋２％）^１９

ちなみに、「^」の記号は、べき乗を表します。

これは、（１＋２％）を19回かけることを意味します。

つまり（１＋２％）＊（１＋２％）＊（１＋２％）＊・・・・＊（１＋２％）ってことですね。

２年目の積立金を複利運用する場合の満期時の元利金合計額

２年目の年末に積み立てる５０万円は、残り１８年間、年利２％の複利で運用することになります。

満期時の元利合計
＝５０万円×（１＋２％）^１８

３年目以降もこれを繰り返して・・・

１９年目の積立金を複利運用する場合の満期時の元利金合計額

１９年目の末に積み立てる５０万円は、残り１年間、年利２％の複利で運用することになりますね。

満期時の元利合計
＝５０万円×（１＋２％）^１

２０年目の積立金を複利運用する場合の満期時の元利金合計額

２０年目の末に積み立てる５０万円は、運用期間はゼロで積み立てた時点で満期を迎えることになります。

満期時の元利合計
＝５０万円

【手順２】各年の元利金合計額を合算する

さて、今度はすべて元利金合計額を足しこんでいきます。

つまり、こういう計算をするわけですね。

これを計算式で表すと以下のようになります。

総合計①

＝｛５０万円×（１＋２％）^１９｝ + ｛５０万円×（１＋２％）^１８｝　＋　｛５０万円×（１＋２％）^１７｝＋・・・・＋｛５０万円×（１＋２％）^１｝　＋　５０万円

これは、このように表現できます。

｛｝（カッコ）で囲まれた部分は、初項１、公比（１＋２％）の等比数列の和になっていますね。

ではここから等比数列の和を計算していきましょう。

先程求めた総合計①はこちらでしたね。

５０万円｛（１＋２％）^１９＋（１＋２％）^１８＋（１＋２％）^１７＋・・・＋（１＋２％）^１＋（１＋２％）^０｝

等比数列の合計に等比をかける

ココがミソなのですが、総合計①に（１＋２％）を掛けたものを別途つくり、これを総合計②とします。

総合計②
＝総合計①×（１＋２％）
＝５０万円｛（１＋２％）^２０＋（１＋２％）^１９＋（１＋２％）^１８＋・・・＋（１＋２％）^２＋（１＋２％）^１｝

２つの総合計を引く

ここまでできたら、総合計②から総合計①を引きます。

すると、同じ項がありますから、それぞれ打ち消しあっていきます。

｛（１＋２％）―１｝×　総合計①　＝５０万円×｛（１＋２％）^２０－１｝

これを整理すると・・・

上記計算式の後半部分が年金終価係数になっているのですね。

これを一般化して、計算式で書くとこうなります。

これが（期末に積み立てる場合の）年金終価係数です。

では本当にそうなっているか、確かめてみましょう。

年金終価係数
＝（１＋２％）^２０年　－１　／２％
＝２４．２９７

ちゃんとなっていましたね。

私が計算した年金終価係数を載せておきますね。

まとめ

今回は、定期的に積み立てて複利運用する場合の計算方法について極力わかりやすく解説しました。

年金終価係数は便利な係数ですが、せっかく使うのであれば、どの様にして導出されているのかを確認しておきたいところです。

数学って大人になってからも便利なツールとして構役立つことがあるのですね。

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