複利運用(積立)の計算方法は?年金終価係数の求め方をわかりやすく解説!

どうも、ノビです。

毎年年末に50万円ずつ積立てて、年利2%で複利運用すると、20年後には(元利合計は)いくらになっているだろうか・・・

今回は、この疑問をわかりやすくスッキリ解決していきます。

もしあなたがFP(ファイナンシャルプランナー)資格の勉強をしたことがあれば、“年金終価係数”の表を用いて、次のように計算できます。

冒頭の疑問の答えはこちらです。

年間の積立額 × 年金終価係数
=50万円 × 24.297
=約1,215万円

実際のFP試験では係数表が与えられているので、表から該当の係数を選んで掛ければ、点数はもらえます。

係数に関しては、他にもいくつかあります。

ただ、丸暗記でFP試験に合格したけど、実はこんな人も多そう・・・(^_^;)

私は、この年金終価係数がどうやって導き出されるのか一度くらいは確認しておくことをおすすめします。

さもないと、係数自体がブラックボックスになってしまいますから。

ということで今回は、積立で複利運用する場合の計算方法をわかりやすく解説していきます。

※今回は「期末」に積立を行うケースで考えていますが、先日は「期首」に積立を行うケースでシミュレーションを行っています。

積立金を複利運用したら満期時はいくらになる?

【手順1】各年の満期時の元利合計額を求める

まずは各年の積立額が満期時にいくらになるのかを計算してみましょう。

1年目の積立金を複利運用する場合の満期時の元利金合計額

1年目の”年末”に50万円積み立てるとします。

期間は20年なので、残り19年間、年利2%の複利で運用することになります。

満期時の元利合計は以下のように計算できます。

満期時の元利合計
=50万円×(1+2%)^19

ちなみに、「^」の記号は、べき乗を表します。

これは、(1+2%)を19回かけることを意味します。

つまり(1+2%)*(1+2%)*(1+2%)*・・・・*(1+2%)ってことですね。

2年目の積立金を複利運用する場合の満期時の元利金合計額

2年目の年末に積み立てる50万円は、残り18年間、年利2%の複利で運用することになります。

満期時の元利合計
=50万円×(1+2%)^18

3年目以降もこれを繰り返して・・・

19年目の積立金を複利運用する場合の満期時の元利金合計額

19年目の末に積み立てる50万円は、残り1年間、年利2%の複利で運用することになりますね。

満期時の元利合計
=50万円×(1+2%)^1

20年目の積立金を複利運用する場合の満期時の元利金合計額

20年目の末に積み立てる50万円は、運用期間はゼロで積み立てた時点で満期を迎えることになります。

満期時の元利合計
=50万円

【手順2】各年の元利金合計額を合算する

さて、今度はすべて元利金合計額を足しこんでいきます。

つまり、こういう計算をするわけですね。

 1年目末に積み立てた50万円の19年後の元利合計
+2年目末に積み立てた50万円の18年後の元利合計
+3年目末に積み立てた50万円の17年後の元利合計



+19年目末に積み立てた50万円の1年後の元利合計
+20年目末に積み立てた50万円の0年後の元利合計

これを計算式で表すと以下のようになります。

総合計①

={50万円×(1+2%)^19} + {50万円×(1+2%)^18} + {50万円×(1+2%)^17}+・・・・+{50万円×(1+2%)^1} + 50万円

これは、このように表現できます。

50万円{(1+2%)^19+(1+2%)^18+(1+2%)^17+・・・+(1+2%)^1+(1+2%)^0}

 

{}(カッコ)で囲まれた部分は、初項1、公比(1+2%)の等比数列の和になっていますね。

ではここから等比数列の和を計算していきましょう。

先程求めた総合計①はこちらでしたね。

50万円{(1+2%)^19+(1+2%)^18+(1+2%)^17+・・・+(1+2%)^1+(1+2%)^0}

等比数列の合計に等比をかける

ココがミソなのですが、総合計①に(1+2%)を掛けたものを別途つくり、これを総合計②とします。

総合計②
=総合計①×(1+2%)
=50万円{(1+2%)^20+(1+2%)^19+(1+2%)^18+・・・+(1+2%)^2+(1+2%)^1}

2つの総合計を引く

ここまでできたら、総合計②から総合計①を引きます。

すると、同じ項がありますから、それぞれ打ち消しあっていきます。

{(1+2%)―1}× 総合計① =50万円×{(1+2%)^20-1}

これを整理すると・・・

総合計① =50万円×{(1+2%)^20-1}/ 2%

上記計算式の後半部分が年金終価係数になっているのですね。

これを一般化して、計算式で書くとこうなります。

{(1+年利)^年数―1}/年利

 

これが(期末に積み立てる場合の)年金終価係数です。

では本当にそうなっているか、確かめてみましょう。

年金終価係数
=(1+2%)^20年 -1 /2%
=24.297

ちゃんとなっていましたね。

私が計算した年金終価係数を載せておきますね。

まとめ

今回は、定期的に積み立てて複利運用する場合の計算方法について極力わかりやすく解説しました。

年金終価係数は便利な係数ですが、せっかく使うのであれば、どの様にして導出されているのかを確認しておきたいところです。

数学って大人になってからも便利なツールとして構役立つことがあるのですね。

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